🌟 Le binôme de Newton
Le binôme de Newton permet de développer une expression de la forme :
$$ (a + b)^n $$où \( n \in \mathbb{N} \), et \( a \), \( b \) sont des réels.
📘 Formule générale :
$$ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$- Le terme \( \binom{n}{k} \) (se lit « n parmi k ») est le coefficient binomial.
- Il indique le nombre de façons de choisir \( k \) éléments parmi \( n \).
🔢 Exemple avec \( n = 3 \)
$$ (a + b)^3 = \binom{3}{0}a^3 + \binom{3}{1}a^2b + \binom{3}{2}ab^2 + \binom{3}{3}b^3 $$ $$ = 1\cdot a^3 + 3\cdot a^2b + 3\cdot ab^2 + 1\cdot b^3 $$ $$ = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$🧠 Comment calculer \( \binom{n}{k} \) ?
$$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$Exemple :
$$ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10 $$🪄 Triangle de Pascal
Les coefficients binomiaux \( \binom{n}{k} \) peuvent être lus dans le triangle de Pascal.
Exemple ligne \( n = 4 \) :
$$ \binom{4}{0}, \binom{4}{1}, \binom{4}{2}, \binom{4}{3}, \binom{4}{4} = 1, 4, 6, 4, 1 $$Donc :
$$ (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 $$✅ À retenir
- Formule valable pour tout entier \( n \geq 0 \)
- Coefficients binomiaux utiles en probabilités, combinatoire, etc.