Définition
En mathématiques, la fonction zêta de Riemann est une fonction analytique complexe qui est apparue essentiellement dans la théorie des nombres premiers. La position de ses zéros complexes est liée à la répartition des nombres premiers.
🔷 Introduction
La fonction zêta de Riemann est l’une des plus mystérieuses et fascinantes de toute l’histoire des mathématiques. Derrière une définition simple, elle cache des liens profonds avec les nombres premiers, les séries infinies, l’analyse complexe, et même la physique quantique.
Elle est au cœur de la célèbre hypothèse de Riemann, l’un des plus grands mystères non résolus de la recherche mathématique.
🔍 Définition classique
La fonction zêta de Riemann, notée \( \zeta(s) \), est définie pour tout nombre réel \( s > 1 \) par la série :
\[ \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \]
C’est une série infinie où chaque terme devient plus petit que le précédent. Par exemple :
- \( \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \)
- \( \zeta(3) \approx 1.202 \) (connue sous le nom de constante d’Apéry)
🧪 Et quand s est plus petit que 1 ?
La série ne converge plus si \( s \leq 1 \), elle devient « infinie ». Mais grâce aux outils de l’analyse complexe, on peut « prolonger » la fonction zêta en dehors de sa zone d’origine.
Ce processus s’appelle le prolongement analytique : il permet de définir \( \zeta(s) \) pour presque tous les nombres complexes, sauf \( s = 1 \).
🎯 Exemple spectaculaire : \( \zeta(-1) \)
Quand on applique ce prolongement à \( s = -1 \), on obtient :
\[ \zeta(-1) = -\frac{1}{12} \]
Cela peut sembler absurde, car :
\[ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots = \infty \]
Mais en fait, dans le cadre régularisé de \( \zeta(s) \), cette série infinie reçoit une valeur finie bien définie : \( -\frac{1}{12} \). Ce résultat n’est pas une somme classique, mais une valeur zêta.
⚙️ Applications inattendues
La fonction zêta de Riemann intervient dans de nombreux domaines :
- Physique quantique : dans l’effet Casimir, des régularisations impliquent \( \zeta(-1) \).
- Théorie des cordes : les dimensions de l’univers calculées utilisent la valeur \( -\frac{1}{12} \).
- Analyse de Fourier, thermodynamique, statistique des particules, etc.
📐 Lien avec les nombres premiers
Euler avait déjà remarqué une identité incroyable :
\[ \zeta(s) = \prod_{p \text{ premier}} \frac{1}{1 – p^{-s}} \quad \text{(pour } s > 1 \text{)} \]
Cette formule, appelée produit d’Euler, relie la fonction zêta directement à tous les nombres premiers. C’est un des fondements de l’étude de leur distribution.
🧠 L’hypothèse de Riemann
En 1859, Bernhard Riemann prolonge la fonction zêta à tout le plan complexe et propose une hypothèse célèbre : tous les zéros non triviaux de \( \zeta(s) \) ont une partie réelle égale à \( \frac{1}{2} \).
Cette conjecture est toujours ouverte. Sa résolution aurait des conséquences énormes sur la compréhension des nombres premiers.
✅ Conclusion
La fonction zêta de Riemann est bien plus qu’une simple somme. Elle relie les entiers, les séries, les nombres premiers, le plan complexe et même le vide quantique.
Implication inattendue, avec la série de Ramanujan