🧮 Démonstration « Ramanujan-style » de la somme infinie 1 + 2 + 3 + … = -1/12
🔷 Hypothèse
On considère des séries infinies, c’est-à-dire des sommes qui n’ont pas de fin. En général, elles divergent (elles deviennent infinies), mais certaines peuvent être régularisées pour leur attribuer une valeur finie cohérente dans un contexte élargi (comme la physique quantique).
Nous acceptons dans cette démonstration que l’on puisse manipuler les séries formellement, même si leur somme diverge, en suivant des règles algébriques (comme Ramanujan le faisait).
🔷 Thèse
Nous voulons démontrer que la série infinie suivante peut être associée à la valeur :
\[ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots = -\frac{1}{12} \]
Attention : cette égalité n’est pas vraie dans le sens ordinaire de la somme des entiers naturels, mais elle est correcte dans un cadre de régularisation utilisé en mathématiques avancées et en physique.
🔷 Démonstration (Ramanujan-style)
Étape 1 — Une série simple
Posons :
\[ S_1 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + \cdots \]
Cette série ne converge pas au sens classique, mais on peut lui associer une valeur moyenne :
\[ S_1 = \frac{1}{2} \]
Étape 2 — Une autre série en escalier
Considérons maintenant :
\[ S_2 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + \cdots \]
On peut l’écrire comme :
\[ S_2 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + \cdots \] \[ = (1 – 2) + (3 – 4) + (5 – 6) + \cdots = -1 + (-1) + (-1) + \cdots \]
Mais en reprenant l’analyse de Ramanujan (ou de Grandi), on trouve que :
\[ S_2 = \frac{1}{4} \]
Étape 3 — La série S recherchée
On revient à notre série initiale :
\[ S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + \cdots \]
On fait un petit tour de passe-passe algébrique : écrivons trois fois \( S \), et combinons-la avec \( S_2 \).
Ramanujan effectue la soustraction formelle suivante :
\[ S_2 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + \cdots \] \[ = 1 – (2 – 3) – (4 – 5) – (6 – 7) – \cdots \]
Et il manipule algébriquement pour en déduire :
\[ S = \frac{1}{1 – 1} + \frac{2}{1 – 1} + \frac{3}{1 – 1} + \cdots \quad \Rightarrow \quad \text{divergent, mais prolongeable analytiquement} \]
Finalement, par régularisation zêta :
\[ \boxed{ \zeta(-1) = 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots = -\frac{1}{12} } \]
✅ Conclusion
Même si cette somme semble absurde à première vue, elle a du sens dans le cadre du prolongement analytique de la fonction zêta de Riemann. Ce résultat est utilisé dans des contextes très sérieux, comme la théorie des cordes et l’effet Casimir.
Et Ramanujan, sans tout ce formalisme moderne, avait déjà entrevu cette merveille.