Leçon 2 : Les arrangements
Les arrangements servent à compter le nombre de façons de choisir et d’ordonner des objets parmi un ensemble donné. L’ordre est important : changer l’ordre des éléments choisis donne un résultat différent.
1) Arrangements sans répétition
On choisit \(p\) éléments distincts parmi \(n\) et on les met dans un certain ordre.
Le nombre d’arrangements est donné par : \[ A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}. \]
- \(n\) = nombre total d’éléments.
- \(p\) = nombre d’éléments choisis.
- On ne remet pas d’éléments après les avoir choisis (pas de répétition).
Exemple conceptuel : nombre de façons de former un podium (1er, 2e, 3e) parmi 10 concurrents.
2) Arrangements avec répétition
Si l’on autorise la répétition (on peut choisir plusieurs fois le même élément), le nombre d’arrangements est donné par : \[ A^{p}_{n,\text{rép}} = n^p. \]
Exemple conceptuel : former des codes de 4 chiffres (de 0 à 9, répétés) : chaque position est indépendante, donc \(10^4 = 10\,000\) codes possibles.
3) Lien avec les permutations
Une permutation est un arrangement particulier où l’on utilise tous les éléments : \[ P_n = A_n^n = n!. \]
Les arrangements généralisent donc les permutations : on peut choisir seulement \(p\) éléments parmi \(n\) au lieu de les prendre tous.
Cette distinction sera utile pour comprendre la notion de combinaisons, où l’ordre n’aura plus d’importance.