Définition du coefficient binomial
Le coefficient binomial \( \binom{n}{k} \) représente le nombre de façons de choisir k éléments parmi n, sans tenir compte de l’ordre. Il est donné par :
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]Démonstration
On considère tous les arrangements (permutations partielles) de k éléments parmi n :
\[ A(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!} \]Mais chaque combinaison est comptée \( k! \) fois (car on ne distingue pas l’ordre dans une combinaison). On divise donc :
\[ \binom{n}{k} = \frac{A(n,k)}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]