Leçon 1 : La factorielle

La factorielle d’un entier naturel \(n\) (notée \(n!\)) est définie comme le produit de tous les entiers de 1 jusqu’à \(n\) :

\[ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1. \]

Par convention, \(0! = 1\).

Exemples

• \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)
• \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)
• \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)

Propriétés

• Récurrence : \[ n! = n \times (n-1)!. \] Exemple : \(5! = 5 \times 4!\).
• Valeur minimale : \(0! = 1\) (définition de base pour simplifier les formules combinatoires).
• Valeur croissante : la factorielle croît très vite : \[ 10! = 3\,628\,800. \]

Applications

• Permutations : Nombre de façons d’ordonner \(n\) objets distincts : \(n!\).
• Formules combinatoires : La factorielle est la base du calcul des arrangements et combinaisons.
• Probabilités : Sert à compter le nombre de tirages possibles (cartes, dés, etc.).

Ordres de grandeur

La factorielle croît tellement vite qu’on utilise parfois une approximation (formule de Stirling) : \[ n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \] pour les très grands \(n\).

Exercice simple

1) Calculer \(6!\).
2) Écrire \(6!\) en fonction de \(5!\).
3) Combien de façons d’ordonner les lettres du mot CHAT (4 lettres toutes différentes) ?

Correction

1. \(6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720.\)
2. \(6! = 6 \times 5!\)
3. \(4! = 24\) façons.

Cette notion de factorielle sera réutilisée dans les deux prochaines leçons : Arrangements et Combinaisons.