🎓 Démonstration purement algébrique du théorème de Pythagore
🔷 Hypothèse
On a un triangle rectangle dont les deux côtés adjacents à l’angle droit ont pour longueurs \( a \) et \( b \), et dont l’hypoténuse a pour longueur \( c \).
On suppose que \( a \) et \( b \) sont strictement positifs.
🔷 Thèse
Nous voulons démontrer que :
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
🔷 Principe
Nous allons exprimer une même surface totale, notée \( S \), de deux façons différentes, uniquement par des égalités algébriques :
- une première fois comme un carré de côté \( a + b \),
- une deuxième fois comme la somme d’un carré de côté \( c \) et de deux rectangles.
🔷 Étape 1 : aire du carré de côté \( a + b \)
La surface totale est :
\[ S = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
🔷 Étape 2 : même surface exprimée autrement
On considère que la même surface est composée :
- d’un carré de côté \( c \), donc d’aire \( c^2 \),
- et de deux rectangles d’aire \( ab \) chacun, donc au total \( 2ab \).
Cela donne :
\[ S = c^2 + 2ab \]
🔷 Étape 3 : égalité des deux expressions
Puisque les deux formules décrivent la même surface \( S \), on les égale :
\[ a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab \]
On simplifie en retirant \( 2ab \) des deux côtés :
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
✅ Conclusion
Nous avons démontré que :
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
C’est exactement le théorème de Pythagore. Cette preuve repose uniquement sur l’algèbre, sans aucun besoin d’image ni de construction géométrique.